Полиномы Лежандра: курсовая работа по высшей математике

• Цель работы: освоение понятий — ортогональный многочлен, евклидово пространство, многочлен Лежандра.
• В первой главе рассмотрено их возникновение через теорию Штурма-Лиувилля (построение через матрицу дифференциального оператора, собственные значения и собственные векторы), свойства классических ортогональных многочленов (весовая функция, ортогональность, ортонормированность, теоремы существования и единственности, трёхчленная рекуррентная формула, формула Кристоффеля — Дарбу, определитель Грама, ряды Фурье, свойства нулей), а также собственные свойства многочленов Лежандра (производящая функция, формула Родрига, рекуррентное соотношение, оценки модуля).
• Во второй главе представлены компьютерные инструменты: вычисление многочленов Лежандра в Mathcad Prime (функция Leg(n, x)), применение в численном интегрировании (квадратурная формула Гаусса), применение в теории и практике приближений (ряды Фурье-Лежандра, аппроксимация гладких функций, эффект Гиббса при разложении функции sign, гипотеза о величине отклонения κ ≈ 0,087).

Глава 1. Возникновение многочленов Лежандра............................................... 7

1.1. Введение многочленов Лежандра через теорию Штурма-Лиувилля …… 7

1.2. Свойства классических многочленов…………..…………………………...9

1.3. Свойства многочленов Лежандра................................................................. 11

Выводы по главе 1 ……………………………………………………………….12

Глава 2. Применение многочленов Лежандра.................................................... 10

2.1. Вычисление многочленов Лежандра на компьютере...................................12

2.2. Применение многочленов Лежандра в численном интегрировании......... 12

2.3. Многочлены Лежандра в теории и практике приближений....................... 13

Выводы по главе 2 ……………………………………………………………….24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................... 25

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ........................................... 26

2. Legendre, A.-M. (1785) [1782]. "Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes" (PDF). Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées (in French). Vol. X. Paris. pp. 411–435. Archived from the original (PDF) on 2009-09-20.

3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970.

4. Джексон, Джон Дэвид, Классическая электродинамика, Нью-Йорк: Wiley, (1999).

5. Эндрюс Л. К. Специальные функции математики для инженеров, SPIE, США, (1998).

6. Polyanin A.D., Zaitsev V.D. Handbook of exact solutions for ordinary differential equations. – CRC Press, 1995.

7. Алабужев А.А., Белозерова Т.С., Хеннер В.К. Методы математической физики. Ч. II. Специальные функции. Полиномы Лежандра: учеб.-метод. пособие – Пермь. Перм. ун-т, 2009. – 76 с.

8. Aboites V. Legendre polynomials: a simple methodology / IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1221 (2019) 012035. URL: (PDF) Legendre Polynomials: a Simple Methodology (researchgate.net)

9. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 2-е, доп. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1979, 416 стр.

10. Холшевников К.В., Питьев Н.П., Титов В.Б Притяжение небесных тел. – Спб., 2005.

11. Никольский С.М. Квадратурные формулы. – М.: Физматгиз, 1974.

12. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.

13. Андреева Т.Г. Математика: Специальные функции и некоторые приложения. СПб.: РГГМУ, 2013. 102 с.

14. Авхадиев Ф.Г., Губайдуллина Р.К., Насибуллин Р.Г. Учебно-методическое пособие по численным методам анализа — Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2019.

15. Алабужев А.А., Белозерова Т.С., Хеннер В.К. Методы математической физики. Ч. II. Специальные функции. Полиномы Лежандра: учеб.-метод. пособие – Пермь. Перм. ун-т, 2009. – 76 с.

16. F´abio M. S. Lima Lecture notes on Legendre polynomials: their origin and main properties. URL: (PDF) Lecture notes on Legendre polynomials: their origin and main properties (researchgate.net)

17. Даутов Р.З., Тимербаев М.Р. Численные методы. Приближение функций: учебное пособие. — Казань: Казан. ун-т, 2021. — 123 с.

18. Трубников Ю.В. Специальные математические методы и функции: курс лекций – Витебск : ВГУ имени П.М. Машерова, 2022. – 56 с.

19. Жиганов С.Н., Михеев К.В., Жиганова Е.Н., Ракитин А.В. Применение полиномов при аппроксимации функциональных зависимостей в ЦОС // Радиотехнические и телекоммуникационные системы, 2020, №1. C. 30-40.

20. Aaron R. Voelker, Ivana Kaji´c, Chris Eliasmith. Legendre Memory Units: Continuous-Time Representation in Recurrent Neural Networks / 33rd Conference on Neural Information Processing Systems (NeurIPS 2019), Vancouver, Canada. URL: (PDF) Legendre Memory Units: Continuous-Time Representation in Recurrent Neural Networks (researchgate.net)